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ざっくり説明すると・・・自分の住民票を、家族以外の誰かが役所で申請したとき、役所から、住民票を交付した年月日と、何枚渡されたのかを、お知らせしますよ。
と、いう制度です。

そもそも、家族でもない人に発行しないで欲しいんだけど！！　　って話ですけどね。

「誰かが私の住民票請求してる、何のために？」
と警戒できるのと、何も知らされないまま　　とは全然違う。
（自治体によっては請求した人の住所氏名ごと知らせてくれる町もあるようですが、現状では、知らされてから「誰が住民票取ったのか開示請求書」的な書類を書かないといけない町が多いようです。）

AKB初期のころ、劇場から出待ちしてたファンが尾行して、メンバーの家を把握して、郵便局に自分の家に引っ越した旨の転居届を出した。って事件もありました。
メンバー数名に、何か月か郵便が届かず、郵便局に調査依頼して発覚した。ある独りの男の家に転居届が出されていたって・・・。警察沙汰になってました最終的にどうなったのか知らないけど。

手数料はかかりません。
まず、お住まいの町のホームページで実施しているか調べて、申請書を書く。
ネット上に書式はあります。
委任状を付ければ家族に代理で申請してもらう事も可能です。
１８歳以下の人は委任状は不要です。
多忙であれば郵送でも受け付けますよって自治体も多いようです。